Fundamenti matematičke analize III - Ćemal Doličanin, Miljan Knežević i Nenad Cakić

Materijal koji obuhvata ova knjiga uglavnom se predaje na Departmanu za matematičke nauke Državnog univerziteta u Novom Pazaru, a u okviru predmeta ,,Matematička analiza III”, studentima studijskih programa Matematika i Informatika-matematika.

Predgovor, 1

I Metrički prostori, 3

1 Uvodni pojmovi, 5
1.1 Skupovi, 6
1.2 Relacije i funkcije, 9
1.2.1 Relacije, 9
1.2.2 Funkcije, 13
1.2.3 Kartezijev proizvod skupova, 20
1.2.4 Dedekindov aksiom neprekidnosti i njegovi ekvivalenti, 21
1.2.5 Kardinalni brojevi, 24
1.3 Algebarske structure, 34
1.3.1 Grupe , 34
1.3.2 Prsten, telo, polje, 36

2 Definicija i primeri metričkih prostora, 39
2.1 Definicija metrike i metričkog prostora, 39
2.2 Granična vrednost, neprekidnost, ravnomerna neprekidnost i Košijev niz u metričkom prostoru, 42
2.3 Značajne nejednakosti, 46
2.3.1 Nejednakost Janga, 46
2.3.2 Nejednakost Heldera, 46
2.3.3 Nejednakost Minkovskog, 47
2.4 Primeri metričkih prostora, 49
2.5 Otvoreni i zatvoreni skupovi metričkog prostora. Osnovni pojmovi topologije . , 53
2.6 Dva karakteristična iskaza o skupovima na realnoj pravoj, 64
2.7 Separabilan prostor. Baza prostora, 67
2.8 Kompletni i kompaktni metrički prostori, 71
2.9 Banahov proctor, 87
2.10 Hilbertov proctor, 95
2.10.1 Osnovni pojmovi, 96
2.10.2 Pred-Hilbertov i Hilbertov proctor, 97
2.10.3 Ekvivalentne metrike, 100
2.10.4 Ortogonalnost vektora u pred-Hilbertovom prostoru , 102
2.10.5 Projekcija vektora na potprostor, 103
2.11 Razlaganje vektora po ortonormiranom sistemu, 107
2.12 Hausdorfova aksioma separacije i Hausdorfov prostor, 114

II Teorija Furijeovih redova, 123

1 Uvod, 125
1.1 Pojam i reprezentacija signala, 125
1.2 Periodična i harmonijska kretanja, 126
1.3 Realan i kompleksan trigonometrijski red, 129
2 Ortogonalni sistemi funkcija, 133
2.1 Osnovni pojmovi, 133
2.2 Ortogonalan sistem trigonometrijskih funkcija, 134
3 Ortogonalni i Furijeovi redovi, 141
3.1 Ortogonalni redovi, 141
3.2 Furijeovi redovi, 143
3.3 Razvoj funkcije u Furijeov red, 145
3.4 Najbolje prilaženje polinomaσn(x) funkcijif(x) i minimalnosvojstvo Furijeovih koeficijenata, 164
3.5 Jezgro i integral Dirihlea, 173
4 Konvergencija Furijeovih redova, 177
4.1 Konvergencija Furijeovog reda u tački i izračunavanje njegovog zbira, 177
4.2 Dirihle–Žordanov uslov konvergencije Furijeovog reda, 185
4.3 Ravnomerna konvergencija Furijeovog reda , 191
5 Furijeov integral. Furijeova transformacija, 201
5.1 Furijeov integral, 201
5.2 Furijeove transformacije, 210
5.3 Konvolucija i teorema Plan Šerela, 220
5.4 Puasonova sumaciona formula, 236
5.5 Z-transformacija, 242