Kvantni transport na nanoskali - Mirko Poljak

Kvantni transport na nanoskali - Mirko Poljak Ova knjiga predstavlja atomistički opis materije i nanostruktura te kvantni transport na nanoskali metodom „odozdo prema gore” u kojoj se na relativno jednostavan način obrađuju koncepti kvantne statističke mehanike i kvantne kinetike na način prikladan studentima i inženjerima elektrotehnike. Polazeći od temelja matrične kvantne mehanike i računske nanoelektronike, daje se pregled proračuna strukture energijskih vrpci u nanosustavima te formalizam Greenovih funkcija za koherentni te nekoherentni i disipativni kvantni transport. Među obrađene pojave spadaju efekti spajanja kontakata na nanosustav, pomak i proširenje energijskih razina, koherentno i nekoherentno tuneliranje te pojava otpora i disipacije energije u nanokomponentama. Knjiga obiluje analitičkim i numeričkim primjerima koji između ostaloga uključuju kvantne točke, atomske lance, rezonantne tunelske diode i nanostrukture dvodimenzionalnih materijala poput grafena. Skripte za odabrane primjere za paket MATLAB nalaze se u dodatku čime se omogućuje zainteresiranim čitateljima samostalno proučavanje koncepata, produbljivanje znanja i istraživanje u području kvantnog transporta u nanoelektroničkim komponentama. Ova knjiga prvenstveno je namijenjena studentima elektrotehnike i srodnih tehničkih područja na diplomskoj razini, a mogla bi koristiti i studentima fizike kao uvodni materijal u numeričke primjene NEGF formalizma. Knjiga pokriva dio gradiva na kolegijima Napredni mikro i nano elektronički elementi te Primijenjena kvantna mehanika koji se drže kao izborni kolegiji na diplomskim studijskim programima na Sveučilištu u Zagrebu, Fakultetu elektrotehnike i računarstva (FER). Sadržaj 1. Uvod 1 1.1. Od mikro do nano, od mega do tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Važnost numeričkih simulacija i modeliranja u elektronici . . . . . . 6 1.3. Režimi transporta nosilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Razine modeliranja transporta nosilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Fokus knjige i pregled poglavlja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Kvantnomehaničke osnove računske nanoelektronike 19 2.1. Temeljni pojmovi iz linearne algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Hamiltonijan i Schrödingerova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Bazne funkcije i transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Valna funkcija i energija slobodne čestice . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5. Kvantizacija u beskonačnoj potencijalnoj jami . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6. Diskretizacija Schrödingerove jednadžbe u kvantnoj jami . . . . . . . 33 2.7. Sustavi s nehomogenom efektivnom masom . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8. Očuvanje vjerojatnosti i vjerojatnosna struja . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9. Očekivana vrijednost operatora i njena vremenska evolucija . . . . . 49 2.10. Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3. Elektronska i transportna svojstva nanostruktura 55 3.1. Metode za računanje elektronskih svojstava nanostruktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Model čvrste veze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. Matrični model čvrste veze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4. Grupna brzina čestice u energijskoj vrpci . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5. Gustoća stanja i raspodjela nosilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6. Matrica gustoće za sustav u termodinamičkoj ravnoteži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.7. Veza energijskih vrpci i struje kroz nanostrukturu . . . . . . . . . . . 90 3.8. Aproksimacija strukture vrpci efektivnom masom . . . . . . . . . . . 93 3.9. Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4. Koherentni kvantni transport 109 4.1. Koherentni transport i neinterakcijski NEGF formalizam . . . . . . . 109 4.2. Transmisija kroz potencijalnu barijeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3. Posljedice spajanja kontakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.4. Greenove funkcije i značenje vlastite energije kontakta . . . . . . . . 116 4.5. Sustav s više stanja spojen na jedan kontakt . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6. Retardirana Greenova funkcija sustava s jednim kontaktom . . . . . 122 4.7. Spektralna funkcija i gustoća stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.8. Matrica proširenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.9. Raspodjela elektrona u termodinamičkoj ravnoteži . . . . . . . . . . . 131 4.10. NEGF jednadžbe za sustav spojen na dva kontakta . . . . . . . . . . . 132 4.11. Veza s Keldyshevim formalizmom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.12. Tok struje kroz strukturu s dva kontakta . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.13. Veza s Landauer-BüĴikerovim formalizmom . . . . . . . . . . . . . . 139 4.14. Računanje površinske Greenove funkcije idealnog kontakta . . . . . 157 4.15. Specifičnosti implementacije s EMA hamiltonijanima . . . . . . . . . 170 4.16. Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5. Nekoherentni i disipativni kvantni transport 187 5.1. Kvantni transport u nanosustavima s raspršenjima . . . . . . . . . . . 187 5.2. Nepolarni akustički i optički fononi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.3. Raspršenja nosilaca na nepolarnim fononima . . . . . . . . . . . . . . 194 5.4. Samokonzistentna Bornova aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.5. NEGF jednadžbe za nekoherentni kvantni transport . . . . . . . . . . 199 5.6. Efektivna transmisija i kvazi-Fermijeva funkcija . . . . . . . . . . . . 202 5.7. Veza s Keldyshevim formalizmom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.8. Elastična raspršenja i pojava otpora strukture . . . . . . . . . . . . . . 204 5.9. Interakcijska matrica i učestalost elastičnih raspršenja . . . . . . . . . 211 5.10. Neelastična raspršenja i pojava disipacije energije . . . . . . . . . . . 216 5.11. Interakcijska matrica i učestalost neelastičnih raspršenja . . . . . . . . 218 5.12. Lokalna gustoća struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.13. Veza kvantnog i poluklasičnog difuzivnog transporta . . . . . . . . . 246 5.14. Granica balističkog i difuzivnog režima transporta . . . . . . . . . . . 255 5.15. Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 MATLAB skripte za odabrane primjere 265 Literatura 307 Kazalo pojmova 309 O autoru 314