Teorija grešaka merenja - Gligorije Perović

Beogradska škola teorije grešaka merenja i geodetskih merenja počela se na evropskom nivou razvijati pre 130 godina. Kao dokaz toga imamo već 1886. godine prvu knjigu iz ovih oblasti: Osnovi računa verovatnoće i teorija najmanjih kvadrata, prvog srpskog akademika iz oblasti geodezije Milana J. Andonovića, koju je štampala Kraljevsko-srpska državna štamparija u Beogradu. Sa naučnog aspekta, ovoj knjizi se ni tada a ni danas nema šta dodati niti oduzeti.

Na stvaranje Beogradske škole geodezije, a posebno teorije grešaka merenja – kao ključne u stvaranju lika geodetskog inženjera, najveći uticaj imale su dve škole, ruska – kao najjača u svetu, i evropska – od koje posebno nemačka.
Beogradska škola, sa svojom školom Teorije grešaka merenja – kao ključnom u stvaranju lika geodetskog inženjera mislioca, čiji su utemeljivači Milan J. Andonović i Nikola Svečnikov, do sada je bila poznata i priznata svuda u svetu.

Knjiga je nastala kao logičan nastavak unapređenja te čuvene Beogradske škole teorije grešaka merenja, ali ništa manje i kao moja borba protiv posledica današnjeg velikog pada nauke u svetu – koji je doveo do pojave prave poplave u pisanju, odnosno do sve manje napisane nauke; a naročito kod nas.

Opšta je tendencija u svetu stvaranja stručnjaka SOFTWARE-aša i gotovih „preciznih metoda merenja” – za šta su potrebni niži nivoi znanja od inženjerskih, uz istovremeno stvaranje sve manjeg broja inženjera mislilaca (Inače, tvorci novog načina učenja datog u „Bolonjskoj deklaraciji” su osim sniženja nivoa znanja koja na fakultetima treba osvojiti snizili i same nazive; tako su inženjera preimenovali u bachelor-a, a diplomoranog inženjera – izraz koji se koristi već 2 000 godina – u master-a. ), tj. takvih stručnjaka koji znaju zašto – kako – koliko; zašto se nešto radi, kako se to (naučno i stručno) radi i koliko to istovremeno najmanje košta.

Takva tendencija stvaranja stručnjaka SOFTWARE-aša, gde čovek dobrovoljno pristaje da manje zna – tako da ga kreatori nove raspodele rada u svetu (novog svetskog poretka) mogu eksploatisati kako njima odgovara, sigurno dovodi do projektovanog savremenog robovlasničkog poretka u svetu.
Stoga je ova monografija, Teorija grešaka merenja, osim svog naučnog cilja istovremeno i moja velika bitka protiv savremenih paradoksa, u kojima:

• sve više se školuje, a sve manje je školovanih,
• sve više se bavi naukom, a sve manje je naučnika, i
• sve više ljudi pišu, a sve manje kažu.

Kao osnova ove knjige poslužila je moja prethodna knjiga Račun izravnanja, knjiga prva (teorija grešaka merenja), izdanja 1984. i 1989. U osnovnom, monografija Teorija grešaka merenja, sastoji se iz dva dela, prvog – u kome su date osnove teorije grešaka merenja, i drugog – u kom je data viša analiza teorije grešaka merenja.

Prvi deo čine glave od 1 do 5, gde su dati osnovni pojmovi iz empirijskog i teorij-skog rasporeda verovatnoća, zatim osnove teorije grešaka, ocena i testiranja hipoteza.
U drugom delu – u višoj analizi teorije grešaka merenja, koji čine glave od 6 do 9, date su analize a priori i a posteriori nizova grešaka merenja jedne veličine, greške položaja tačaka, robusne metode ocenjivanja i metode ocenjivanja komponenti disperzija. Među tim metodama je i 15 mojih novih metoda koje se u ovoj monografiji prvi put pojavljuju. U tom svetlu posebno su analizirani modeli hijerarhijskih grešaka, jedno- i dvo-faktorski.
Posebno sam se potrudio da dam opširne statističke tablice i tablice moći testova, ali jednostavne i lake za upotrebu, kao neophodnu i dobru pomoć u primenama metoda analize merenja.

Osim toga dao sam i SRPSKO–RUSKO–ENGLESKI rečnik korišćenih pojmova, kao važnu materiju savremenim istraživačima, kao i grčki alfabet.
Prema tome, knjiga je namenjena svima koji se bave obradom i analizom merenja – inženjerima, studentima, naučnicima.

Jovan Mališić, Vesna Jevremović i Branko Božić, recenzenti, dali su veliki broj korisnih sugestija i primedbi što je značajno poboljšalo tekst.

IZVOD IZ RECENZIJE

Merenja su sastavni deo inženjerske prakse, a mnogobrojni su razlozi pojave grešaka merenja. Stoga su problemi merenja i grešaka merenja u fokusu inženjera, kako teoretičara, tako i praktičara. Prof. Perović je ovoj oblasti posvetio stručni i naučni rad i nesumnjivo da u toj oblasti ima bogato iskustvo i veliki broj radova. Iako se danas u statističkim paketima mogu naći implementirani programi za skoro sve statističke procedure, autor smatra, i u tome ga u potpunosti podržavamo, da je neophodno poznavanje suštine metoda i uslova pri kojima se one mogu primeniti, kao i poštovanje tih uslova da bismo dobijene rezultate mogli argumentovano tumačiti i koristiti.
. . . . .
2. TEORIJSKI RASPORED OPAŽANJA. Pravilna obrada podataka podrazumeva i odgovarajuću teorijsku podlogu, pa su tako u ovoj glavi obrađene jednodimenzionalne i dvodimenzionalne raspodele . . . . .
3. OSNOVE TEORIJE GREŠAKA. U ovom poglavlju razmatraju se sistematske greške, slučajne greške, kao i mere i kriterijumi tačnosti i preciznosti rezultata merenja. Navode se metode otkrivanja grubih grešaka i dozvoljena odstupanja i postavljaju principi zanemarljivosti određenih grešaka pri računanju najčeše korišćenih uzoračkih karakteristika. Nije izostavljena ni analiza grešaka zaokruživanja. . . . .
5. TESTIRANJE HIPOTEZA. Najpre se daju osnove testiranja hipoteza, a zatim testiranje hipoteza o očekivanoj vrednosti, testiranje hipoteza o jednakosti dveju očekivanih vrednosti, kao i testiranje hipoteza o disperzijama. Zbog praktičnih primena, radi provere korelisanosti, dati su i odgovarajući testovi. Pri razmatranju testiranja raspodela govori se o Pirsonovom χ2-testu, a pri proveri hipoteza o normalnosti raspodele u knjizi su dati i testovi Kolmogorova i Šapiro-Vilka, kao i „brzi” test pomoću raspona uzorka.
6. PRINCIPI ANALIZE GREŠAKA MERENJA. U ovoj glavi se razmatraju kako prethodno proučavanje grešaka – analiza grešaka a priori (određivanje grešaka, njihove raspodele), tako i aposteriorna analiza grešaka merenja. . . . . .
8. ROBUSNE METODE OCENJIVANJA. Uz istorijat robusnog ocenjivanja ovo poglavlje sadrži potrebne definicije i oznake, a zatim se navode autorovi rezultati u vezi sa robusnim ocenjivanjem disperzije normalnog rasporeda, kao i ocena standarda normalnog rasporeda iz rasporeda raspona merenja.
9. ANALIZA HIJERARHIJSKIH GREŠAKA . . . . Potom se razmatra dvofaktorska hijerarhijska analiza sa slučajnim efektima. U ovom poglavlju posebno su navedeni mnogobrojni rezultati autora u vezi sa proučavanom tematikom (testiranje grubih grešaka).
Knjiga Teorija grešaka merenja je monografskog karaktera sa obiljem informacija korisnih ne samo studentima osnovnih, master i doktorskih akademskih studija građevinskog, geodetskog i srodnih usmerenja nego i diplomiranim geodetskim inženjerima koji u svom radu sreću probleme grešaka merenja i stoga se može očekivati da će jednu ovako detaljnu studiju mogućih slučajeva i situacija iz prakse sa zadovoljstvom prihvatiti. Prema našim saznanjima knjiga ovakvog sadržaja ne postoji u literaturi na našem jeziku.
Prof. dr Jovan Mališić Prof. dr Vesna Jevremović
. . . . .
Matematička statistika je fundament teorije grešaka merenja. Znajući to, autor je, sa svojim ogromnim naučnim znanjem i velikim praktičnim iskustvom u geodetskim merenjima, uspeo da teoriju grešaka merenja u potpunosti osloni na njen fundament – na matematičku statistiku.
U testiranju slučajnih i sistematskih grešaka merenja fizičkih veličina obuhvaćeni su svi slučajevi koji se mogu pojaviti u merenjima, što je sa teorijskog i praktičnog apekta veoma značajno.
Vrednost knjige Teorija grešaka merenja ogleda se u autorovom originalnom doprinosu kroz veliki broj autorovih novih metoda analize grešaka merenja. Tako je u osmoj glavi dato pet novih autorovih robusnih metoda za ocenu disperzije i matematičkog očekivanja rezultata merenja koja po pretpostavci pripadaju normalnoj raspodeli, dok su u devetoj glavi – u analizi dvofaktorkih hijerarhijskih grešaka, date tri nove autorove metode testiranja na prisustvo grubih grešaka.
Posebno treba istaći da su prvi put u geodeziji integralno analizirane komponente disperzija GPS merenja, i to pomoću autorove nove metode PEROB2FH ANOVA GPS MERENJA, koja se ovde prvi put pojavljuje.
Imajući sve navedeono u vidu, može se očekivati da će ovu knjigu rado prihvatiti studenti, inženjeri i naučnici.
Branko Božić

IZ SADRŽAJA

G l a v a 1. EMPIRIJSKI RASPOREDI OPAŽANJA . . . 1

A) JEDNODIMENZIONALNI RASPOREDI

1.1. Merenje i rezultat merenja. Opažanje

1.2. Rezultat merenja i slučajni događaj

1.3. Grupisanje i tabeliranje

1.4. Frekvencija opažanja i njene osobine

1.5. Gustina rasporeda i histogram frekvencija

1.6. Empirijska funkcija rasporeda

1.7. Aritmetička sredina

B) DVODIMENZIONALNI RASPOREDI

1.9. Dijagram rasturanja tačaka

1.10. Tablice i histogrami .

1.11. Marginalne sredine i disperzije

1.12. Uslovne sredine i disperzije

1.13. Eksperimentalna kovarijacija i korelacija

G l a v a 2. TEORIJSKI RASPORED OPAŽANJA 25

A) JEDNODIMENZIONALNI RASPOREDI

2.1. Konvergencija u verovatnoći i teorema Bernulija

2.2. Definicija verovatnoće i njene osobine

2.3. Prelaz sa empirijskog na teorijski raspored opažanja kod neprekidne slučajne promenljive

2.4. Zakon (gustina) rasporeda .

2.5. Funkcija rasporeda

2.5.1. Veza između funkcije rasporeda i gustine rasporeda.

2.5.2. Kvantil neprekidnog rasporeda

2.6. Matematičko očekivanje

2.7. Disperzija i standardno odstupanje

2.8. Normalni raspored i drugi rasporedi koji se koriste u geodeziji.

2.9. Diskretni rasporedi

2.10. Transformacija rasporeda

B) DVODIMENZIONALNI RASPOREDI

2.11. Funkcija rasporeda

2.12. Neprekidni rasporedi

2.13. Diskretni rasporedi

2.14. Marginalne sredine i disperzije

2.15. Uslovne sredine i disperzije

2.16. Teoreme o matematičkim očekivanjima

2.17. Teoreme o disperzijama

2.18. Kovarijacija i koeficijent korelacije

G l a v a 3. OSNOVE TEORIJE GREŠAKA. . . . 49

3.1. Zadaci teorije grešaka

3.2. Ukupna greška merenja i centralna granična teorema

3.3. Vrste grešaka merenja

3.4. Sistematske greške

3.4.1. Definicija i osobine sistematskih grešaka merenja

3.4.2. Načini smanjenja uticaja sistematskih grešaka na merenja

3.5. Osobine slučajnih grešaka

3.6. Raspored slučajnih grešaka merenja

3.7. Osobine krive grešaka merenja

3.8. Funkcija rasporeda grešaka merenja

3.9. Mere i kriterijumi tačnosti i preciznosti rezultata merenja

3.9.1. Srednja kvadratna greška rezultata merenja

3.9.2. Tačnost i preciznost rezultata merenja

3.9.3. Prosečna i verovatna greška

3.9.4. Apsolutna i relativna greška

3.9.5. Raspon rezultata merenja

3.10. Metode otkrivanja grubih grešaka - dozvoljena odstupanja .

3.10.1. Koncepcija otkrivanja grubih grešaka .

3.10.2. Metode otkrivanja grubih grešaka pri poznatom standardu merenja .

3.10.3. Metode otkrivanja grubih grešaka pri nepoznatom standardu merenja

3.11. Stohastička zavisnost merenja .

3.11.1. Pojam stohastičke veze i korelacije

3.11.2. Korelisanost rezultata merenja – fizička korelacija

3.12. Funkcije rezultata merenja

3.12.1. Metod linearizacije

3.12.2. Greške funkcija – zakon prenosa grešaka

3.12.3. Matematička – algebarska korelacija

3.12.4. Optimalna alokacija grešaka

3.12.5. Alokacija grešaka po principu jednakih uticaja

3.13. Principi zanemarljivosti

3.13.1. Princip zanemarljivosti komponenti disperzija

3.13.2. Princip zanemarljivosti korelacije

3.14. Uticaj grešaka merenja na ocenu disperzije i korelacije

3.14.1. Uticaj grešaka merenja na ocenu disperzije

3.14.2. Uticaj grešaka merenja na koeficijent korelacije

3.15. Greške zaokruživanja

3.15.1. Greške zaokruživanja pri računanjima

3.15.2. Greške zaokruživanja merenja – greške očitavanja

G l a v a 4. TEORIJA OCENA . . . 123

4.1. Osnovni zadaci teorije ocena

4.2. Generalni skup i izbor. Statistika

4.3. Tipovi ocena i njihova svojstva

4.3.1. Tačkaste ocene

4.3.2. Intervalske ocene

4.4. Metode dobijanja ocena .

4.5. Direktna merenja iste tačnosti

4.5.1. Ocena prave vrednosti

4.5.2. Ocena tačnosti

4.6. Direktna merenja različite tačnosti

4.6.1. Ocena prave vrednosti

4.6.2. Ocena tačnosti

4.6.3. Testovi značajnosti

4.7. Težine funkcija rezultata merenja

4.8. Načini dobijanja srednje kvadratne greške jedinične težine i njene ocene

4.9. Greške ocene disperzije

4.10. Uticaj sistematskih grešaka na ocenu istinite vrednosti i disperzije

4.11. Parovi merenja

4.11.1. Definicija parova merenja

4.11.2. Ocene pravih vrednosti

4.11.3. Ocene grešaka

4.11.4. Testovi značajnosti

4.11.5. Parovi merenja sa različitom tačnošću u parovima

4.12. Ocenjivanje pomoću raspona merenja

4.13. Optimalan broj merenja pri određivanju standardne greške

G l a v a 5. TESTIRANJE HIPOTEZA . . 169

5.1. Osnove testiranja hipoteza .

5.2. Testiranje hipoteza o očekivanoj vrednosti .

5.2.1. Testiranje hipoteza o očekivanoj vrednosti pri poznatom standardu

5.2.2. Testiranje hipoteza o očekivanoj vrednosti pri nepoznatom standardu

5.2.3. Analiza moći testa i optimizacija tačnosti u testu o očekivanoj vrednosti

5.3. Testiranje jednakosti dveju očekivanih vrednosti .

5.3.1. Testiranje jednakosti dveju očekivanih vrednosti pri poznatim standardima

5.3.2. Testiranje jednakosti dveju očekivanih vrednosti pri nepoznatim standardima

5.3.3. Testiranje jednakosti očekivanih vrednosti niza merenja i njegovih podgrupa

5.4. Testiranje hipoteza o disperzijama .

5.4.1. Testiranje jednakosti disperzije merenja sa datom disperzijom

5.4.2. Testiranje jednakosti dveju disperzija .

5.4.3. Testiranje jednakosti k disperzija

5.4.3.1. Bartletov test jednakosti k disperzija

5.5. Testiranje korelisanosti

5.5.1. Testiranje postojanja korelacione veze između dve slučajne veličine

5.5.2. Testiranje jednakosti koeficijenta korelacije sa datim koeficijentom

5.5.3. Testiranje jednakosti dva koeficijenta korelacije

5.5.4. Testiranje jednakosti k koeficijenata korelacije

5.6. Testiranje rasporeda

5.6.1. Pirsonov hi-kvadrat test rasporeda

5.6.2. Testiranje normalnosti po skupovima uzoraka malih obima

5.7. Statistička i praktična značajnost

G l a v a 6. PRINCIPI ANALIZE GREŠAKA MERENJA . . . . 222

6.1. Zadaci analize grešaka merenja

6.2. Prethodno proučavanje grešaka – Analiza grešaka a priori

6.2.1. Određivanje osnovnih karakteristika elementarnih grešaka

6.2.2. Rasporedi elementernih grešaka

6.2.3. Metodologija eksperimentalnog istraživanja elementarnih grešaka

6.3. Aposteriorna analiza grešaka merenja

G l a v a 7. GREŠKE POLOŽAJA TAČAKA

7.1. Zakon raspodele grešaka u ravni

7.2. Linearne transformacije promenljivih

7.3. Oblasti grešaka

7.4. Oblasti poverenja i testovi značajnosti za srednje vrednosti

7.5. Greške položaja tačaka

7.6. Elipsa i kriva grešaka položaja pri

7.5. Analiza korelacije

G l a v a 8. ROBUSNE METODE OCENJIVANJA . . . 251

8.1. Uvod i istorijat robusnog ocenjivanja

8.2. Definicije i oznake

8.3. PEROB MV metoda ocenjivanja parametara normalnog rasporeda

8.4. Ocena disperzije normalnog rasporeda iz rasporeda eksperimentalnih disperzija .

8.4.1. PEROBDIS metoda ocene disperzije normalnog rasporeda

8.4.2. PEROBKD MV1 metoda ocene disperzije normalnog rasporeda

8.5. Ocena standarda normalnog rasporeda iz rasporeda raspona merenja

8.5.1. PEROBOSR metoda ocene standarda normalnog rasporeda

8.5.2. PEROBOS MMR metoda ocene standarda normalnog rasporeda

G l a v a 9. ANALIZA HIJERARHIJSKIH GREŠAKA . . . . 272

9.1. Uvod i kratak istorijat

9.2. Jednofaktorska analiza sa fiksnim efektima

9.3. Jednofaktorska analiza sa slučajnim efektima

9.4. Dvofaktorska hijerarhijska analiza sa slučajnim efektima

9.4.1. Različit broj merenja po grupama

9.4.2. Jednak broj merenja po grupama

9.5. PERG2FH analiza slučajnih procesa

9.5.1. PERG2FH ANOVA GPS merenja

9.5.2. PEROB2FH ANOVA GPS merenja

9.6. PEROBHIK metode testiranja grubih grešaka

9.6.1. PEROBHIK1F metode testiranja grubih grešaka

9.6.2. PEROBHIK1S metode testiranja grubih grešaka

9.6.3. PEROBHIK2S metode testiranja grubih grešaka

LITERATURA

PRILOG A Statističke tablice

PRILOG B Moć testova

REGISTAR CITIRANIH AUTORA

REGISTAR POJMOVA

SRPSKO ̶ RUSKO ̶ ENGLESKI REČNIK POJMOVA

GRČKI ALFABET